FIBONACCI, της Άλκηστης Μισούλη, της Θεοδώρας Παπαδάτου και της Μυρτώς Κοντογούρη
Η εργασία αυτή αφορά το εκπαιδευτικό πρόγραμμα του μουσικού σχολείου Αλίμου στη Φλωρεντία και παρουσίαζει τον μαθηματικό Λεονάρντο της Πίζας ,μελετά την ακολουθία του και τη σχέση της με τη χρυσή τομή καθώς και την παρουσία της στη φύση αλλά και στη δομή της μουσικής κλίμακας, τη χρήση της χρυσής αναλογίας στο σχεδιασμό μουσικών οργάνων αλλά και στις σονάτες του Mozart και παρουσιάζει μία αρχική σύνθεση βασισμένη στους αριθμούς Fibonacci.
Ήταν γιος του Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci, που σημαίνει απλός), εξ ου και το παρώνυμό του Φιμπονάτσι (γιος του Μπονάτσι: φίλιους μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε μερικές φορές το όνομα Μπίγκολο που σήμαινε ταξιδιώτης. Γεννήθηκε στην Πίζα αλλά ακολούθησε τον πατέρα του που διορίστηκε σε διπλωματικό πόστο ως εκπρόσωπος των εμπόρων της Πίζας στη Βόρεια Αφρική. Έζησε στην πόλη Μπεχάια, λιμάνι στη σημερινή Αλγερία, στις εκβολές του ποταμού Γουάντι Σουμάμ κοντά στο όρος Γκουράια και στον κόλπο Καρμπόν. Εκεί εκπαιδεύτηκε σε σχολή λογιστικής, διδάχτηκε μαθηματικά και ταξίδεψε με τον πατέρα του γνωρίζοντας τα τεράστια προνόμια των αραβικών μαθηματικών συστημάτων.
Αυτά τα πρώτα του ταξίδια τελειώνουν γύρω στο 1200 και τότε επιστρέφει στην Πίζα όπου γράφει τα μαθηματικά κείμενα τα οποία είμαστε και τυχεροί να κατέχουμε καθώς την εποχή του δεν είχε εφευρεθεί η τυπογραφία. Το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Έδειχνε την πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματικές συναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και άλλες εφαρμογές. Το βιβλίο έτυχε θερμής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης και τους επηρέασε σημαντικά αν και το σύστημα έγινε ευρέως γνωστό μετά την εφεύρεση της τυπογραφίας.
Ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος Β΄ της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας ήταν σύμμαχος της Πολιτείας της Πίζας στον πόλεμό της κατά της Γένοβας και ενισχύθηκε τόσο πολύ η επιρροή του στην Ιταλία, που το 1224 ίδρυσε το Πανεπιστήμιο της Νάπολης για να αντλεί επιστήμονες και ανθρώπινο δυναμικό. Γνώρισε το έργο του Φιμπονάτσι μέσω των λογίων της αυλής του και ένας από αυτούς, ο Δομίνικος Ισπανός, φιλόσοφος της αυλής, του συνέστησε να συναντήσει τον Φιμπονάτσι στην επίσκεψη της αυλής στην Πίζα το 1225.
Ο Ιωάννης του Παλέρμο, ένα άλλο μέλος της αυλής του Φρειδερίκου Β΄, παρουσίασε στον Φιμπονάτσι έναν αριθμό προβλημάτων-προκλήσεων, τρία από τα οποία όντως έλυσε. Όμως στη συνέχεια τα ίχνη του χάνονται καθώς μετά το 1228 υπάρχει μόνο μια αναφορά του ονόματός του σε διασωθέντα κείμενα, σε ένα έγγραφο μισθοδοσίας του 1240 από την Πολιτεία της Πίζα.
Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:
Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;
Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη.
Στο τρίτο μέρος του liber abaci εμφανίζεται το εξής πρόβλημα:
Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;
Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ο Φιμπονάτσι παρέλειψε τον πρώτο όρο στο Liber abaci). Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. Η ακολουθία έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμη στην Επιστήμη.
Ορισμός της ακολουθίας Fibonacci : α1=α2=1 και αν+1= αν + αν-1 για κάθε
Αν από το τετράγωνο του καθενός αφαιρέσουμε το γινόμενο των δυο πιο κοντινών γειτονικών αριθμών, παίρνουμε αποτέλεσμα 1 ή -1.
Όσο προχωρούμε προσεγγίζουμε καλύτερα τη χρυσή τομή, τον αριθμό 1,618... Το όριο της ακολουθίας Fibonacci είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με το γράμμα Φ προς τιμήν του Φειδία
Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας τείνει προς την αποκαλούμενη Χρυσή Τομή, ή Χρυσή αναλογία, ή Αριθμό φ =1.618033989.
Ο αντίστροφος της Χρυσής Τομής 1/φ= 0.618033989, με αποτέλεσμα να ισχύει: 1/φ=φ-1.
Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/φ ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο.
Η φύση: Οι όροι της ακολουθίας Fibonacci χρησιμοποιούνται από τη φύση σε πολλές περιπτώσεις, χαρακτηριστικό παράδειγμα: Τα διαδοχικά φύλλα των φυτών σχηματίζουν σταθερές γωνίες που αν εκφραστεί η κάθε μια ως μέρος του κύκλου προκύπτει κλάσμα του οποίου οι όροι, είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci. Πιο συγκεκριμένα: τα διαδοχικά φύλλα της τριανταφυλλιάς σχηματίζουν γωνίες 135ο ή 144ο.
Η ακολουθία Fibonacci παράγεται από τη σχέση f(1) = f(2) = 1 , f(n+1) = f(n) + f(n-1), και απαντάται συχνά σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και των άλλων επιστημών. Είναι όμως σημαντικό και το πόσο συχνά συναντάται στη φύση, σε μοτίβα όπως τα λουλούδια ή τα φύλλα των φυτών.
Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.
Αργότερα ο Leonardo Da Vinci ζωγράφισε το πρόσωπο της Mona Lisa ώστε αυτό να χωράει τέλεια σε ένα χρυσό ορθογώνιο και δόμησε τον υπόλοιπο πίνακα γύρω από το πρόσωπο χωρίζοντάς τον επίσης σε χρυσά ορθογώνια.
Ο Mozart διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή τομή, τον αριθμό φ, αν και υπάρχει σημαντική διχογνωμία για το κατά πόσο αυτό έγινε σκόπιμα. Ακόμα και ο χριστιανικός σταυρός αποτελείται από δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμές με την αναλογία ανάμεσα στην κατακόρυφη και την οριζόντια να μην είναι άλλη από τον αριθμό φ.
Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση.
Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.
Είναι γνωστό ότι η ακολουθία των αριθμών Fibonacci και η χρυσή αναλογία εκδηλώνονται στη φύση και σε πολλά έργα τέχνης. Είναι λιγότερο γνωστό ότι αυτοί οι αριθμοί υπόκεινται σε μουσικά διαστήματα και συνθέσεις.
Μία οκτάβα είναι το διάστημα μεταξύ μίας νότας και της επόμενης νότας με το ίδιο όνομα στο πιάνο. Στην Εικόνα 1 η οκτάβα είναι από το Ντο ( C ) στα αριστερά έως το Ντο στα δεξιά. Μία οκτάβα καλύπτει 13 νότες. Για παράδειγμα, μία οκτάβα που ξεκινάει από το Ντο περιλαμβάνει Ντο ( C ) , Ντο# (C#), Ρε (D), Ρε# (D#), Μι (E), Φα (F), Φα# (F#), Σολ (G), Σολ# (G#), Λα (A), Λα# (A#), Σι (B), Ντο. Αυτή ονομάζεται “χρωματική” κλίμακα. Το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών νοτών ονομάζεται ημιτόνιο. Ο τόνος είναι το διπλάσιο διάστημα του ημιτονίου. Το διάστημα του Φα με το Σολ στην Εικόνα 1 είναι ένας τόνος. Οι μείζονες και οι ελάσσονες κλίμακες καλύπτουν 8 νότες σε μία οκτάβα, με ανάμεικτους τόνους και ημιτόνια. Για παράδειγμα, μια μείζονα κλίμακα που ξεκινάει από το Ντο θα περιλαμβάνει τις νότες Ντο, Ρε , Μι, Φα, Σολ, Λα, Σι, Ντο. Στο πιάνο υπάρχουν 8 άσπρα και 5 μαύρα πλήκτρα. Τα μαύρα χωρισμένα σε ομάδα των 2 και 3.
Από το πλήκτρο Ντο, οι νότες Ντο, Μι και Σολ είναι οι βασικές για τη δημιουργία της τονικής συγχορδίας. Αυτές είναι οι 1, 3, 5 στην κλίμακα - αριθμοί Fibonacci.
Σχεδιασμός οργάνων
Ο μεγαλύτερος οργανοποιός, Stradivarius, σχεδίαζε τα βιολιά του γύρω από τη χρυσή αναλογία (φ). Τα βιολιά του είναι τα πιο πολύτιμα και τα πιο ακριβά έγχορδα όργανα στον κόσμο χάρη στην εκλεκτή τονική και αρμονική ποιότητα τους. Το βιολί Stradivarius στην Εικόνα 2 αποκαλύπτει την ακριβή σχέση των οργάνων του με τη χρυσή αναλογία :
Η μουσική του Μότσαρτ ( Wolfgang Amadeus Mozart, Σάλτσμπουργκ, 27 Ιανουαρίου 1756 - Βιέννη, 5 Δεκεμβρίου 1791) σίγουρα είναι εξαιρετική, ο τρόπος όμως µε τον οποίο έφτιαξε αυτούς τους εκπληκτικούς ήχους αμφισβητείται. Σύμφωνα µε την αδελφή του, ο Μότσαρτ στα μαθητικά του χρόνια ασχολιόταν µόνο µε αριθμούς. Επιπλέον, στα περιθώρια μερικών από τις συνθέσεις του σημείωνε μαθηματικές εξισώσεις. Μάλιστα, στη Fantasia και Fugue σε Ντο Ματζόρε, υπάρχουν στα περιθώρια οι υπολογισμοί της πιθανότητας μιας νίκης του σε µια λαχειοφόρο αγορά. Αν και αυτές οι εξισώσεις δεν αφορούσαν τη μουσική του, εν τούτοις προδίδουν µια έλξη και µια αγάπη που είχε στα μαθηματικά. Πολλοί μαθηματικοί ελκύστηκαν από την δομή της μουσικής του Μότσαρτ και αρκετοί από αυτούς αποφάσισαν να διερευνήσουν κατά πόσο ο περίφημος αυτός συνθέτης επηρεάστηκε από αυτά. Ένας από τους πολλούς ήταν και ο John F. Putz, Καθηγητής Μαθηματικών στο Κολλέγιο Alma του Μίσιγκαν. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η μουσική του Μότσαρτ ήταν περίφημη για τον αρμονικό της ήχο και για τις κομψές της αναλογίες, σκέφτηκε ότι θα ήταν ενδιαφέρον να ελέγξει εάν τα τμήματά του στις σονάτες για πιάνο που χρησιμοποίησε ήταν κοντά στη διαίρεση της χρυσής αναλογίας. Ο Μότσαρτ διαίρεσε μεγάλο αριθμό από τις σονάτες του σε δύο μέρη, η χρονική αναλογία των οποίων αντιστοιχεί στη χρυσή αναλογία. Σύμφωνα µε τον Putz την περίοδο του Μότσαρτ η μουσική φόρμα της σονάτας ήταν χωρισμένη σε δύο μέρη: στο πρώτο μέρος το μουσικό θέμα εισάγεται ( Έκθεση) και στο δεύτερο όπου το θέμα αναπτύσσεται και επαναλαμβάνεται ( Ανάπτυξη και Επανέκθεση). Δηλαδή ο Μότσαρτ, διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα µε τη χρυσή αναλογία µε την Έκθεση ως πιο το σύντομο τμήμα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο μεγάλο (1-x). Για παράδειγμα, Ο Putz αντιστοίχισε τα δύο τμήματα - την Έκθεση (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση (1-x) - από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, η Έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 μέτρα. Η διαίρεση 62:38 δίνει πηλίκο περίπου 1,63, προσεγγίζοντας πολύ το χρυσό αριθμό. Αυτό είναι πολύ σημαντικό, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 100 (εκτός από τους 38 και 62) που διαιρούμενοι μεταξύ τους να προσεγγίζουν πλησιέστερα τη χρυσή αναλογία. Μια εξίσου καλή προσέγγιση στο χρυσό τμήμα υπάρχει και στο δεύτερο μέρος αυτής της σονάτας. Το τρίτο μέρος, εντούτοις, παρεκκλίνει από τη χρυσή αναλογία.
Άλλοι µουσικοί που εφάρμοσαν τον κανόνα της χρυσής αναλογίας στα έργα τους ήταν οι: Μπέλα Μπάρτοκ (1881-1945), Κλώντ Ντεµπισύ (1862-1918), Ερίκ Σατί (1866-1925), Σούµπερτ (1797-1828) και Μπαχ (1685-1750), ο οποίος µάλιστα συνήθιζε να κωδικοποιεί το όνοµά του και να το εμφανίζει στις συνθέσεις του.
Μέσα από την έρευνά αυτή συμπεράναμε ότι η ακολουθία Ficonacci και η χρυσή αναλογία είναι κύρια συστατικά, τόσο της φύσης όσο και του πολιτισµού µας. Χάρη σ' αυτόν είµαστε σε θέση να απολαµβάνουµε την αρµονία του περιβάλλοντος στο οποίο ζούµε, και να δημιουργούμε έργα ασυναγώνιστης οµορφιάς.
Αντισταθείτε σ'αυτόν που χτίζει ένα μικρό σπιτάκι και λέει "Καλά είμαι εδώ". Αντισταθείτε σ'αυτόν που γύρισε πάλι στο σ...
1. Ορθολογισμός (ρασιοναλισμός): Σύμφωνα με τους ορθολογιστές φιλοσόφους, η γνώση μας για τον κόσμο προέρχεται κυρίως από τον ίδιο τον ορθό ...
Απολογισμός 4ήμερης εκπαιδευτικής επίσκεψης Β’ Λυκείου σε Θεσσαλονίκη-Δίον-Βεργίνα (27-3-2023 έως 30-3-2024) Η επίσκεψη 54 μα...
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου